鞅收敛定理 — 统计学填空题

设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1）。由于各因子非负且 E[Xᵢ]=1，{Mₙ} 是关于自然 filtration 的非负鞅，故由鞅收敛定理，Mₙ 几乎处处收敛到某随机变量 M∞，且 E[Mₙ]=____。另一方面，因为每个因子以概率 1/2 取 0，对任意 n≥1 有 P(Mₙ=0)≥1/2，且 E[log X₁]=−∞，可证 M∞=0 几乎处处成立，故 E[M∞]=____。此例说明非负鞅的几乎处处收敛一般____（填「能」或「不能」）推出 L¹ 收敛。