考试考研数学（数三）上册《高等数学·极限与连续》练习题

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本单元考点（6 个）

数列极限的定义与性质函数极限的计算（洛必达法则、泰勒展开）无穷小量阶的比较两个重要极限函数连续性与间断点分类闭区间上连续函数的性质（介值、最值定理）

题目预览（5/18 题）

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1. 设 lim(x→0) [f(x) - 2x]/(sin x) = 3，则 lim(x→0) [f(x)]/x =（　） A. 2　B. 3　C. 5　D. 极限不存在

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2. 利用泰勒展开求极限：lim(x→0) [tan x − sin x − x³/2] / x⁵ = ____

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3. 当 x→0 时，设无穷小量 α(x)=(1+x²)^(1/3)−1，β(x)=ln(1+x)+ln(1−x)，则 lim(x→0) α(x)/β(x)=____。

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4. 设函数 f(x) 在闭区间 [0,1] 上连续，且 f(0)=-3，f(1/2)=2，f(1)=-1。则方程 f(x)=0 在开区间 (0,1) 内至少有 ____ 个实根。

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5. 设函数 f(x) 在闭区间 [0,1] 上连续，且对任意 x∈[0,1] 都有 0≤f(x)≤1。令 g(x)=f(x)-x，则方程 f(x)=x（即 g(x)=0）在闭区间 [0,1] 上至少有 ____ 个实根。

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