考试考研数学（数一数二公共）上册《高等数学：积分学补充》练习题

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本单元考点（3 个）

反常积分敛散性与计算变限积分函数及其求导定积分等式与不等式证明

题目预览（5/27 题）

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1. 设函数 f(t) 在 [0,4] 上连续，且 ∫₀¹ f(t)dt = 2，f(1) = 3。定义 F(x) = ∫₀^(x²) (x² − t) f(t) dt（x ≥ 0）。则 F''(1) = ____

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2. 设 f(x) 在 [0,1] 上连续。利用柯西—施瓦茨不等式 (∫ₐᵇ f(x)g(x)dx)² ≤ ∫ₐᵇ f²(x)dx · ∫ₐᵇ g²(x)dx 证明：(∫₀¹ f(x)dx)² ≤ k·∫₀¹ f²(x)dx，并求使该不等式对一切连续 f(x) 都成立的最小常数 k，则 k = ____。

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3. 设 f(x) 在 [1,2] 上连续，且 ∫₁² f(x)dx = 3。记 I = ∫₁² f²(x)dx，则由积分的柯西—施瓦茨不等式可得 I 的最小值，且该最小值可以被满足条件的连续函数取到。此最小值为 A. 9　B. 4　C. 6　D. 18

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4. 反常积分 ∫₁^(+∞) 1/x³ dx 的值为（　） A. 1/2　B. 1　C. 发散　D. 3/2

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5. 反常积分 ∫₀^(+∞) 1/(x²+2x+5) dx 的值为（　） A. π/4　B. π/8　C. π/2　D. 发散

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