大学多元统计分析上册《主成分分析》练习题

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本单元考点（5 个）

主成分分析的数学模型与几何意义主成分的求解及特征值分解贡献率与累计贡献率主成分载荷的含义主成分个数的选择原则

题目预览（5/9 题）

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1. 某项包含 4 个标准化变量的主成分分析中，样本相关矩阵的 4 个特征值依次为 λ₁=2.1，λ₂=1.3，λ₃=0.5，λ₄=0.1。若按「累计贡献率达到 85% 以上」的原则选取主成分个数，应选取的主成分个数为多少？ A. 1 个　B. 2 个　C. 3 个　D. 4 个

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2. 设随机向量 X=(x₁, x₂)ᵀ 的协方差矩阵为 Σ=[[5, 2],[2, 2]]，其特征值分别为 λ₁=6（对应单位特征向量 u₁=(2/√5, 1/√5)ᵀ）和 λ₂=1。若取 y₁=u₁ᵀX 作为第一主成分，则 y₁ 的方差为（　） A. 6　B. 1　C. 5　D. 4

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3. 设三维随机向量 X=(x₁,x₂,x₃)ᵀ 的协方差矩阵为 Σ = [[4,0,0],[0,9,0],[0,0,1]]，则 X 的第一主成分是（　　） A. x₁　B. x₂　C. x₃　D. (x₁+x₂+x₃)/3

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4. 设二维随机变量 X=(x₁,x₂) 的协方差矩阵为 Σ = [3, 1; 1, 3]。对 Σ 作特征值分解以求第一主成分，则第一主成分的单位载荷向量为（　　） A. (1,1)/√2　B. (1,-1)/√2　C. (1,0)　D. (0,1)

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5. 某研究团队对一项包含 5 个标准化变量的数据进行主成分分析，得到样本相关矩阵的 5 个特征值依次为：λ₁=4.2，λ₂=2.5，λ₃=1.8，λ₄=1.0，λ₅=0.5。若按照“累计贡献率达到 85% 即可选取主成分”的原则，且主成分必须按特征值从大到小依次选取，则应选取的主成分个数为多少？ A. 2 个　B. 3 个　C. 4 个　D. 5 个

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