大学时间序列分析上册《自相关与偏自相关函数》练习题

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本单元考点（4 个）

自相关函数(ACF)定义与性质偏自相关函数(PACF)定义样本ACF与样本PACF计算ACF/PACF截尾与拖尾识别

题目预览（5/27 题）

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1. 设平稳序列 {X_t} 满足 X_t = 0.8X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为白噪声。偏自相关函数 φ_kk 的定义是：在剔除中间滞后变量 X_{t-1},…,X_{t-k+1} 的线性影响后，X_t 与 X_{t-k} 之间的条件相关。依据 PACF 的定义与该序列的模型结构，φ₁₁ = ____，φ₂₂ = ____，该序列的 PACF 在滞后 2 处表现为 ____（填“截尾”或“拖尾”）。

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2. 某零均值平稳序列的样本自相关函数在滞后 k=1,2 处显著非零，k≥3 的各值均落在 ±2/√n 内且无明显规律，即 ACF 在 2 阶截尾；其偏自相关函数随滞后增大按几何级数缓慢衰减，呈拖尾特征。据此最适宜识别该序列为下列哪类模型？A. AR(1) 模型　B. MA(2) 模型　C. ARMA(1,1) 模型　D. MA(1) 模型

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3. 关于平稳时间序列的偏自相关函数 φ_kk（k≥1），下列表述准确反映其定义的是：A. φ_kk 等于 X_t 与 X_{t-k} 的普通协方差除以两者标准差之积 B. φ_kk 是将 X_t 对中间滞后变量 X_{t-1}, X_{t-2}, …, X_{t-k+1} 进行线性回归后，残差与 X_{t-k} 对同一组中间变量回归所得残差之间的相关系数 C. φ_kk 定义为自相关函数 ρ_k 的差分，即 φ_kk = ρ_k − ρ_{k-1} D. φ_kk 是样本自相关系数 ρ̂_k 经正态近似标准化后的统计量

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4. 设平稳时间序列 {X_t} 满足 X_t = 0.5X_{t-1} − 0.2X_{t-2} + ε_t，其中 {ε_t} 为零均值白噪声。偏自相关系数 φ_kk 按定义刻画：φ_11 为 X_t 与 X_{t-1} 的自相关系数 ρ_1；φ_22 为在给定 X_{t-1} 的条件下，X_t 与 X_{t-2} 之间的偏相关程度，可由 Durbin-Levinson 递推公式 φ_22 = (ρ_2 − ρ_1²)/(1 − ρ_1²) 求得。请依据偏自相关函数的定义与该递推关系，计算 φ_11 与 φ_22 的值，并指出该序列的偏自相关函数在滞后几处截尾。

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5. 设平稳时间序列 X_t = ε_t + 0.6ε_(t-1) − 0.2ε_(t-2)，其中 {ε_t} 为零均值白噪声且 Var(ε_t)=1。由自相关函数定义 ρ_k = γ_k/γ_0，可算得 ρ_0 = ____，ρ_1 = ____（用分数表示），且该序列的自相关函数在滞后 k ≥ ____ 处全部为零（即 ACF 在 k=2 处截尾）。

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