大学离散数学（大学通用）上册《代数系统》练习题

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本单元考点（5 个）

二元运算与代数系统半群与群子群与陪集循环群同态与同构

题目预览（5/27 题）

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1. 设有限循环群 G=⟨g⟩ 的阶为 120，令 a=g¹⁸。G 中与 a 阶相同的元素共有多少个？ A. 4　B. 6　C. 8　D. 10

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2. 设 S={∅,{a},{b},{a,b}}，运算为集合并。有人断言：由于该运算满足结合律，且 S 中每个元素都满足 A∪A=A，(S,∪) 就是群。判断此断言是否正确。

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3. 设 S={0,1,2,3,4,5,6}，在 S 上定义二元运算 * 为 a*b=(a+b+ab) mod 7。则 (S,*) 中可逆元素共有 ____ 个。

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4. 设 G = ⟨a⟩ 是由元素 a 生成的循环群，其中 a 的阶为 12，e 为单位元。若 b = a⁸，则 b 的阶为 ____，且使 aᵏ = b⁵ 成立的最小正整数 k 为 ____。

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5. 在 S={0,1,2} 上定义二元运算 *：除 1*1=0 外，其余 a*b 均等于 a+b 除以 3 的余数。判断：由于该运算封闭，0 是单位元，且每个元素都有逆元，故 (S,*) 是群。

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