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设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，且 P(X=3)=0.6，P(X=4)=0.4。记 Sₙ = X₁+…+Xₙ 为第 n 个更新时刻，N(t) 表示 (0, t] 内的更新次数。取 t=9：（1）求 P(N(9)=2)；（2）求 P(N(9)≥3)；（3）求 E[N(9)]。
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设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。求：(1) 概率 P{N(1)=0 且 N(4)=3}（结果保留 e 的幂形式）；(2) 条件概率 P{N(1)=0 | N(4)=3}。
某网站服务器收到请求的次数 N(t) 是强度 λ=2（次/秒）的泊松过程。设 T 为从时刻 0 起到第 1 个请求到达的等待时间。 (1) 写出 T 的分布并求 P(T>1.5)； (2) 若已知前 0.8 秒内没有请求到达，求在第 1.8 秒时仍无请求到达的条件概率。
设某客服热线在 [0,t] 内接入的来电数 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=4（个/小时）的泊松过程。每个来电独立地以概率 p=1/4 为投诉电话，以概率 1−p=3/4 为咨询电话，记 N₁(t)、N₂(t) 分别为 [0,2] 小时内接入的投诉、咨询电话数。求：E[N₁(2)]、E[N₂(2)]，并说明 N₁(2) 与 N₂(2) 是否相互独立及理由。
设观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (1, 3)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 8)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，核函数取 Epanechnikov 核 K(t)=(3/4)(1−t²)（当 |t|≤1，否则 K(t)=0），带宽 h=1。求 m̂(2.5) 的值。
在核密度估计中，考虑三角核 K(u)=1−|u|（当 |u|≤1 时），K(u)=0（当 |u|>1 时），以及 Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（当 |u|≤1 时），否则为 0。(1) 验证三角核满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1；(2) 计算三角核的二阶矩 μ₂(K)=∫u²K(u)du；(3) 已知 Epanechnikov 核的二阶矩为 1/5，求三角核与 Epanechnikov 核二阶矩之比，并指出哪个核的二阶矩更小。
某食品研究所考察三种包装工艺对食品保质期的影响，分别从三种工艺下独立抽取样本，测得保质期（单位：月）如下：工艺A：3，5，7，9，12；工艺B：2，6，8，11，15；工艺C：1，4，10，14。试用中位数检验的基本思想完成：（1）求合并样本的中位数 M；（2）统计各组大于 M 与小于等于 M 的观测个数，写出 3×2 列联表；（3）计算 Pearson 卡方统计量 χ²（列联表卡方公式），并在显著性水平 α=0.05 下判断三种工艺保质期的中位数是否有显著差异（临界值 χ²₀.₀₅(2)=5.991）。
某工厂共有 N=72 台设备，按编号 1 至 72 顺序排列，欲抽取 n=9 台进行性能检测，采用线性系统抽样。抽样间隔 K=72/9=8，在 1 至 8 中随机确定起点 r=5，沿编号递增方向等距依次抽取 9 台。问被抽中的最后一台设备的编号是多少？
设 {N₁(t)} 与 {N₂(t)} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=2（件/小时）与 λ₂=3（件/小时）。将两类事件按到达时刻合并为一个叠加过程 {N(t)}。（1）写出 {N(t)} 的强度；（2）已知到时刻 t 时合并过程共到达了 4 个事件，求其中恰好有 2 个事件来自过程 {N₁(t)} 的概率。
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y+Zt²，其中 Y~N(0,1)，Z~N(0,2)，且 Y 与 Z 相互独立。(1) 判断该过程是否具有独立增量性，是否具有平稳增量性，均需说明理由；(2) 对 0≤s<t，写出增量 X(t)−X(s) 的方差的一般表达式 Var(X(t)−X(s))；(3) 据此计算 Var(X(2)−X(1)) 的值。
某电商平台连续20天按时间顺序记录某款商品页面是否出现访问高峰：出现记为A，未出现记为B，得到序列：A B B A A A B B B A A B B A A A B B A A。试用游程检验考察该序列是否具有随机性：统计游程数R，计算n₁、n₂（分别为A、B的个数），在显著性水平0.05下用正态近似法求标准化统计量Z的值，并判断能否拒绝随机性假设（双侧检验，临界值1.96，不使用连续性修正）。
为检验三家实验室（A、B、C）某项检测耗时数据的总体中位数是否相同，分别独立抽取样本，样本量依次为 n₁=7，n₂=9，n₃=8。将 24 个观测值合并后求出合并中位数 m，统计各组落在 m 之上与之下（不含恰好等于 m 的数据，本题无此情形）的个数，得列联表：A 组中位数之上 2 个、之下 5 个；B 组之上 6 个、之下 3 个；C 组之上 5 个、之下 3 个。在显著性水平 α=0.05 下，用中位数检验（χ² 近似，期望频数由合计比例计算）判断三家实验室检测耗时的中位数是否存在差异。（参考值：χ²₀.₀₅(2)=5.991）
为比较三种生产工艺下产品某指标的中位数位置是否一致，分别独立抽取容量 n₁=5，n₂=6，n₃=7 的样本，合并后样本容量为 18，求得合并中位数 M₀。统计三个样本中大于 M₀ 的观测个数依次为 2、3、4（均不超过各样本容量的一半）。要求：写出中位数检验列联表各单元格的观测频数与期望频数，并计算检验统计量 χ² 的值（精确到小数点后三位）。
某观测站连续 12 天记录某河流水位是否高于警戒线，高于记为 +，不高于记为 −，按时间顺序得到序列：+, +, −, +, −, −, +, +, +, −, +, +。把序列中连续出现的同一符号构成的一段称为一个游程，请写出该序列的游程总数，并指出最长游程的长度。
某实验室记录了5次实验中反应温度x（℃）与某指标读数y的数据：(2, 20)，(4, 16)，(6, 12)，(8, 6)，(10, 2)。请计算 x 与 y 的 Spearman 秩相关系数 r_s；再据此结合本题数据说明：为什么当两变量呈严格单调递减但非线性关系时，r_s 能刻画其关联，而 Pearson 相关系数与 r_s 的取值不同？只要求计算 r_s 并作简要说明，不需要计算 Pearson 相关系数的具体数值。
某医院连续15天记录门诊客流是否超过接诊容量：超过记为A，未超过记为B，按时间顺序得到序列：B B A B B A A B A A A B B A A。请指出该序列中的A游程个数、B游程个数及游程总个数R。
在试验设计中，若因素 B 的每个水平仅出现在因素 A 的某一个水平之下，且不同 A 水平下的 B 水平可以完全不同、不可交叉重复，则称这种设计为嵌套设计。某研究团队安排了如下试验：考察两种施肥方式 A₁、A₂ 对作物产量的影响，并在每种施肥方式下选用 3 个不同的当地品种，其中 A₁ 下用品种 P₁、P₂、P₃，A₂ 下用品种 Q₁、Q₂、Q₃，品种在各施肥方式内部完全独立选用、互不重复。请依据嵌套设计的定义判断：该试验是否属于嵌套设计？若属于，说明哪个因素嵌套于哪个因素之下。
为研究两种不同训练方式对学生反应时间的影响，随机抽取两组学生，甲组 8 人，反应时间（单位：秒）为：2.1，3.4，2.8，4.5，3.9，2.5，3.1，4.2；乙组 7 人，反应时间为：1.8，2.9，3.6，2.3，4.0，3.3，2.6。请按中位数检验的基本思想：先将两组观测值合并，求出合并样本的中位数 M；再分别统计甲、乙两组中大于 M 与小于等于 M 的观测个数，写出所构造的 2×2 列联表。
某医疗器械公司比较两种血压测量仪的读数差异，随机选取14名受试者进行配对测量，每名受试者同时用仪器甲与仪器乙各测一次，记录收缩压读数之差 dᵢ = 甲 − 乙 的符号。整理得：dᵢ > 0 的有10人，dᵢ < 0 的有3人，dᵢ = 0 的有1人。剔除零差值后，设正号个数为 S，采用符号检验（双侧检验，显著性水平 α = 0.05），检验统计量 S 服从 B(n, 0.5)，其中 n 为非零差值的个数。临界值依据为：当 2×P(B(n,0.5) ≥ S) < 0.05 时拒绝原假设。请完成：确定 n 与 S 的值，计算双侧检验的 p 值（精确到小数点后四位），并给出检验结论。
某仓库按入库时间顺序记录连续24批货物是否需要抽检：需要抽检记为1，免检记为0，得到序列：1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1。试用游程检验（大样本正态近似，显著性水平 α=0.05，双侧临界值 1.96）判断该批货物的抽检状态是否具有随机性：求游程总数 R、游程数期望 E(R)、方差 Var(R) 及统计量 Z 的值，并给出检验结论。