大学常微分方程（大学通用）上册《非线性方程与定性理论初步》练习题

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本单元考点（5 个）

相平面与相轨线平衡点及其稳定性判定线性化近似与稳定性Lyapunov函数方法极限环初步

题目预览（5/18 题）

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1. 考虑系统 x' = −y − x³, y' = x − y³，取 V(x,y) = x² + y²。用 Lyapunov 直接法判断原点 (0,0) 的稳定性，结论是： A. V 不是该系统的 Lyapunov 函数，无法判定稳定性 B. 原点不稳定 C. 原点稳定但非渐近稳定 D. 原点渐近稳定

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2. 考虑平面自治系统 x′=y，y′=−x+x³。该系统有三个平衡点：(0,0)、(1,0)、(−1,0)。利用线性化方法（计算各平衡点处 Jacobi 矩阵的特征值），判断这些平衡点的类型。下列结论正确的是 A. 三个平衡点均为中心 B. (0,0) 是中心，(1,0) 与 (−1,0) 均为鞍点 C. (0,0) 是鞍点，(1,0) 与 (−1,0) 均为中心 D. (0,0) 是中心，(1,0) 与 (−1,0) 均为结点

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3. 设平面自治系统 x' = -x，y' = 2y，则原点 (0,0) 是该系统的平衡点，其稳定性类型为（　） A. 稳定结点　B. 渐近稳定结点　C. 鞍点　D. 不稳定焦点

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4. 考虑平面自治系统 x' = 2x + y，y' = x + 2y，其唯一平衡点为原点 (0,0)。对该平衡点作线性化并判定其稳定性，正确结论是（　） A. 渐近稳定　B. 稳定但非渐近稳定　C. 中心型临界情形，线性化无法判定　D. 不稳定

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5. 设系统 x₁' = 3x₁ + 2x₂，x₂' = x₁ + 4x₂。求其唯一平衡点 (0,0) 处线性化矩阵的特征值 λ₁、λ₂，并判断该平衡点是不稳定结点还是渐近稳定结点。特征值中较大者为____，平衡点为____。

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