大学常微分方程（大学通用）上册《边值问题与特征值问题》练习题

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本单元考点（5 个）

两点边值问题及其可解性格林函数及其应用Sturm-Liouville边值问题特征值与特征函数的性质特征函数系的正交性

题目预览（5/9 题）

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1. 考虑两点边值问题 y''+λy=0，y(0)=0，y(π/2)=0。若该边值问题存在非零解，则 λ 的最小正值与对应非零解分别为（　） A. λ=1，y=sin x　B. λ=2，y=sin(√2 x)　C. λ=4，y=sin 2x　D. λ=9，y=sin 3x

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2. 关于两点边值问题 y''+4y=0，y(0)=0，y(π)=0 的解的情况，下列结论正确的是： A. 只有零解 y=0 B. 存在唯一非零解 C. 有无穷多个解 D. 无解

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3. 设格林函数 G(x,t) 满足边值问题 −y''=f(x), y(0)=y(1)=0 的解 y(x)=∫₀¹ G(x,t)f(t)dt，则 G(x,t) 满足：当 0≤t≤x 时 G(x,t)=t(1−x)；当 0≤x≤t 时 G(x,t)=x(1−t)。下列结论正确的是 A. G(x,t)=G(t,x)，即格林函数关于 x 与 t 对称 B. 对任意 x,t∈(0,1)，G(x,t)>0 恒不成立 C. 对固定的 x，G(x,t) 关于 t 在 (0,1) 上处处可导且导数连续 D. G(x,1/2) 关于 x 在 (0,1) 上恒为零

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4. 关于 Sturm-Liouville 边值问题 y″+λy=0（0<x<π），y(0)=0，y(π)=0，下列说法正确的是： A. 对任意实数 λ 都有非零解 B. 只有当 λ 为正数的平方时才有非零解 C. 存在唯一确定的 λ 使问题有非零解 D. 该问题只有零解 y≡0

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5. 设 y''+λy=0, y(0)=0, y(π)=0 的特征函数系为 φₙ(x)=sin(nx), n=1,2,…。据特征函数系的正交性，计算 ∫₀^π sin(2x)sin(5x)dx 的值。 A. 0　B. π/2　C. π　D. 1

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