大学常微分方程（大学通用）上册《高阶线性微分方程》练习题

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本单元考点（5 个）

高阶线性微分方程解的存在唯一性线性微分方程解的结构与叠加原理常数变易法求非齐次特解常系数线性齐次方程的解法欧拉方程与可化为常系数的方程

题目预览（5/18 题）

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1. 已知二阶线性微分方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中 p(x)、q(x)、f(x) 均在区间 (a,b) 上连续，y₁(x) 与 y₂(x) 是该方程在 (a,b) 内的两个解，则下列结论正确的是（　　） A. 对任意常数 k，ky₁ 也是非齐次方程的解 B. y₁ - y₂ 必是对应齐次方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的解 C. y₁ + y₂ 仍是该非齐次方程的解 D. 存在唯一的一组常数 C₁、C₂，使得 C₁y₁ + C₂y₂ 为该非齐次方程的通解

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2. 设二阶线性微分方程 y'' + (1/(x-2))y' + 3y = ln|x-1|，初始条件为 y(0)=0, y'(0)=1。根据高阶线性微分方程解的存在唯一性定理，该初值问题存在唯一解，此解的存在区间（含初值点 x₀=0 且使各系数函数与右端函数连续的最大开区间）为 ____。

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3. 设二阶线性微分方程 y'' + 1/(x-3)·y' + 5y = ln|x|，初始条件为 y(1)=2, y'(1)=-1。由高阶线性微分方程解的存在唯一性定理，该初值问题存在唯一解的最大区间是（　） A. (0, 3) B. (-∞, 3) C. (0, +∞) D. (3, +∞)

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4. 设二阶线性微分方程 y'' + (1/(x+2))·y' + arctan(x)·y = x²，初始条件为 y(1)=3, y'(1)=4。由高阶线性微分方程解的存在唯一性定理知，该初值问题在包含 x=1 的最大开区间上存在唯一解，则此最大开区间为 ____。

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5. 已知二阶线性微分方程 y'' + (e^x/(x²-4))·y' + √(x+5)·y = cos(x)，初始条件为 y(3)=1, y'(3)=0。根据高阶线性微分方程解的存在唯一性定理，该方程满足此初始条件的特解存在的区间是（　　） A. (-2, 2) B. (-∞, -2) C. (2, +∞) D. R

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