停时与可选停时定理 — 统计学计算题
题目
设赌徒每局以概率 p=2/3 赢 1 元，概率 q=1/3 输 1 元，各局独立。设 Sₙ 为 n 局后的累计盈亏（S₀=0），令 Mₙ=(q/p)^{Sₙ}=(1/2)^{Sₙ}。验证 {Mₙ} 是关于自然 filtration 的鞅。赌徒设定停时 T=min{n≥0: Sₙ=3 或 Sₙ=−3}。试用可选停时定理求 T<∞ 时赌徒先到达 +3 的概率 π。
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