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在 Metropolis-Hastings 采样中，若目标分布集中在区间 [5, 6]，而使用随机游走提议分布 q(x'|x)=N(x, σ²)，则 σ 取 0.01 或 100 时采样效率都很低。为使接受率保持在合理范围（约 0.3~0.5），应将 σ 调整为与目标分布的____量级相当。当 σ 过小时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致链移动缓慢；当 σ 过大时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致大量提议被拒绝。
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某学生用随机游走 Metropolis-Hastings 算法采样目标密度 p(x) ∝ e^(−|x|)（x∈R），提议分布为对称的均匀分布 q(x′|x) = 1/2（当 |x′−x|≤1 时，否则为0）。已知当前状态 x=0.5，算法产生的新候选点为 x′=1.3。由于提议分布对称，接受概率为 α = min{1, p(x′)/p(x)}。请计算该候选点被接受的概率，α = ____。（结果用 e 的幂表示，保留三位小数）
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=2)=0.4，P(X=3)=0.6，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ。则 P(N(7)≤2)=____。
设某传感器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,4] 上服从均匀分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则该传感器的平均寿命 μ=____；由关键更新定理，极限 lim(t→∞) [m(t) − t/μ] = ____。
用样本均值法估计 I=∫₀¹ x³ dx。取 U∼(0,1) 均匀分布，普通估计量每用一个随机数得一个样本 U³；对偶变量法改用 (U³+(1−U)³)/2 作为一对样本，即每两个均匀随机数产生一个估计样本。设两种方法各使用 N 个均匀随机数，普通法估计量方差为 Var₁，对偶法估计量方差为 Var₂，则 Var₁/Var₂ = ____。（用最简分数表示）
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。由平稳独立增量性质，条件概率 P{N(2)=2 | N(4)=2} = ____
某急救调度中心收到呼救的次数 N(t) 是强度 λ=1.2（次/小时）的泊松过程，各次到达间隔相互独立且服从指数分布。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 次呼救到达的时间间隔（单位：小时），则 P(X₁ > 5分钟) = ____（用 e 的幂表示）。
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ √x dx。独立抽取 5 个均匀分布样本 xᵢ=0.04, 0.16, 0.36, 0.64, 1.00，计算函数值 gᵢ=√xᵢ 并以其经验均值 Î 作为 I 的估计。请补全：样本标准差 S=√(∑(gᵢ-Î)²/(n-1))，则 Î=____，该估计的标准误 S/√n=____（第二空用形如 a√b 的最简形式表示）。
用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx，独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本，计算得样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。则该估计的标准误为 ____（保留三位小数）。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [0, 1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1/2, 1/2], [1/4, 0, 0, 3/4]]。已知该链不可约且正常返，则其平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) = ____。
设某电子元件的相继寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [0,2] 上服从均匀分布，以 N(t) 表示到时刻 t 为止的更新次数，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程对寿命密度求导可得更新密度 r(t)=m'(t) 满足 r(t)=1/2+∫₀ᵗ (1/2)r(s)ds，且 m(0)=0。据此解得 m(t)=e^(t/2)−1，则 m(2)=____。
某客服中心顾客来电次数 N(t) 是强度 λ=0.5（次/分钟）的泊松过程。设 X₃ 为第 3 个来电与第 2 个来电之间的时间间隔，则 X₃ 服从参数为____的指数分布，其均值 E[X₃]=____分钟，且 X₃ 大于 4 分钟的概率 P(X₃>4)=____（结果用 e 的幂表示）。
设回归模型为 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i = 1, 2, 3），其中 m(x) = 2x + 1，εᵢ 为零均值随机误差且相互独立。在 x₀ = 3 处采用局部加权回归光滑器 m̂(3) = 0.3·Y₁ + 0.4·Y₂ + 0.3·Y₃，其中 x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 4（权重关于 x₀ 对称且总和为 1）。由于权重对称且总和为 1，对线性回归函数 m 而言该光滑器是无偏的。则 E[m̂(3)] = ____。
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1）。由于各因子非负且 E[Xᵢ]=1，{Mₙ} 是关于自然 filtration 的非负鞅，故由鞅收敛定理，Mₙ 几乎处处收敛到某随机变量 M∞，且 E[Mₙ]=____。另一方面，因为每个因子以概率 1/2 取 0，对任意 n≥1 有 P(Mₙ=0)≥1/2，且 E[log X₁]=−∞，可证 M∞=0 几乎处处成立，故 E[M∞]=____。此例说明非负鞅的几乎处处收敛一般____（填「能」或「不能」）推出 L¹ 收敛。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），则 {Sₙ} 是鞅。令停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，且已知 P(T<∞)=1。由鞅性质及 |S_T|=3 与 E[S_T]=0 可得 P(S_T=3)=____；再由 E[Sₙ²]−n 为鞅并结合可选停时定理，可得 E[T]=____。
某灯泡按更新过程更换，每次更换后灯泡寿命恰为4小时。设刚在时刻0安装了新灯泡，此后一旦烧坏立即更换。则在时刻 t=6 小时观察时，当前灯泡已使用的时间（年龄过程 A(6)）为____小时，距下次更换的剩余寿命 γ(6) 为____小时。
某实验室按时间顺序记录16次实验是否触发报警，触发记为A，未触发记为B，其中A共7次、B共9次，序列整理后统计得游程总数 R=5。以 R 为统计量，用正态近似检验该序列的随机性，则 E(R)=____，Var(R)=____（保留两位小数），检验统计量 Z=____（保留两位小数）。
为比较三种工艺生产的产品某质量指标的中位数是否一致，从三条独立生产线分别抽取样本，容量依次为 n₁=7，n₂=9，n₃=8，合并样本容量为 24，合并中位数记为 M₀。统计各样本中大于 M₀ 的观测个数依次为 4、6、3，小于 M₀ 的观测个数依次为 3、3、5。按中位数检验，以各样本中超过与不超过 M₀ 的频数构造 Pearson 卡方统计量（每格期望频数为对应 nᵢ/2），则该统计量的值为 ____（保留两位小数）。
某实验员按时间顺序记录某信号装置的输出状态，正偏记为 +，负偏记为 −，得到序列：+, +, −, +, +, +, −, −, +, −, −, −。该序列的游程总数为____，其中最长的游程长度为____。
某市环保监测站对辖区内9个监测点位分别按PM2.5浓度高低与附近车流量大小独立排序，得到两套秩次，各点位秩次之差 dᵢ 的平方和 ∑dᵢ²=26。取显著性水平 α=0.05，以 H₁: ρₛ>0 为备择假设，已知 n=9 时 Spearman 秩相关系数的单侧临界值为 0.600。则样本秩相关系数 rₛ=____，检验结论为（填“拒绝”或“不拒绝”）____原假设，即车流量与PM2.5浓度之间存在显著的正秩相关。