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某调查公司拟用简单随机抽样估计某城区居民使用某款手机应用的比例。根据预调查取总体比例 p=0.6，在95%置信水平下（取 z=2），要求估计值的绝对误差不超过 0.04，则至少需要抽取的样本量为多少？ A. 400 B. 480 C. 600 D. 960
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设总体 X 的均值为 μ、方差为 σ²，X₁ 与 X₂ 为来自该总体的简单随机样本。定义三个估计量：T₁=X₁；T₂=(X₁+X₂)/2；T₃=2X₁−X₂。则下列结论正确的是： A. T₁ 是最有效的估计量 B. T₂ 是三个估计量中方差最小且无偏的估计量 C. T₃ 的期望为 μ，且方差为 σ²，故最有效 D. 三个估计量均有偏，无法比较有效性
某仓储中心分理货岗与打包岗两类岗位，理货岗员工人均日处理货件80件，打包岗员工人均日处理货件60件。经月度汇总，全体员工平均每人日处理货件68件。则理货岗员工人数占全体员工总数的比重为（ ） A. 30% B. 40% C. 50% D. 60%
某统计计算任务中，模型为 y_t = θ + ε_t，ε_t = φ ε_{t-1} + η_t，η_t ~ N(0, σ²)，t=1,...,T，T=5000，|φ|<1，φ 未知。若直接构造 T×T 协方差矩阵 Σ 并求逆，计算与存储代价为 O(T³)。为高效计算 θ 的广义最小二乘估计，下列建模与算法选择中最合理的是： A. 先忽略相关性用 OLS 估计 θ，再将标准误乘以 T B. 先用 OLS 残差估计 φ，再对数据做 AR(1) 白化变换（首项乘 √(1-φ²)），对变换后数据做 OLS C. 对稠密 Σ 做 Cholesky 分解，复杂度 O(T³)，精度最高故必选 D. 用拒绝采样从后验 p(θ|y) 抽样，样本均值即为 GLS 估计
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/4, 1/2, 1/4], [p, 0, 1-p]]，其中 0<p<1。若该链的平稳分布 π=(π₁,π₂,π₃) 满足 π₁=π₃，则 p 的值为（ ） A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3
某调查站研究住房面积x（十平方米）与月租金y（百元）的关系，记录5组数据：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)。假设一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε 满足经典假定，用最小二乘法拟合，则回归系数 β₁ 的估计值为：A. 0.8 B. 0.9 C. 1.1 D. 1.2
在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 g(n)=n²·(1 − cos(1/n))，当 n=10⁸ 时。算法甲先算 cos(1/n) 再与 1 相减，最后乘 n²；算法乙先用恒等式 1 − cos(t) = 2·sin²(t/2)，再乘 n²。关于两算法所得结果的稳定性，以下叙述正确的是： A. 甲所得结果有效数字损失严重，乙所得结果稳定可靠 B. 甲与乙所得结果完全相同，均稳定可靠 C. 乙所得结果有效数字损失严重，甲所得结果稳定可靠 D. 甲与乙所得结果均严重失真，无法使用
某传感器记录的读数都集中在一个很大的基准值附近，彼此差异很小。为计算这些读数的样本方差，算法甲先分别求读数平方的平均值与读数平均值的平方，再求两者之差；算法乙先减去读数平均值，再由偏差计算方差。关于数值结果稳定性，哪项判断最恰当？ A. 算法甲更稳定，因为平方运算能减小舍入误差 B. 算法乙通常更稳定，因为避免了两个大而接近的量相减 C. 两种算法稳定性必然相同，因为输入数据相同 D. 算法甲更稳定，因为计算中没有使用偏差
设矩阵 A = [[1,1],[1,-1],[1,0]]，其列向量线性无关，观测向量 b = (3,3,3)ᵀ。用 A 的 QR 分解（Q 的列经 Gram-Schmidt 正交化并单位化）求解最小二乘问题 min ‖b − Aβ‖₂，则残差向量 b − Aβ̂ 的 2-范数等于多少？ A. 0 B. √6 C. √3 D. 2
某随机交叉试验有3名受试者，定义每人的差值为“处理A结果−处理B结果”，观测差值依次为1、2、4。检验处理效应为零时，在零假设下对每对结果独立交换A、B标签，以差值均值为统计量，枚举全部标签交换方式。双侧精确置换检验的p值为多少？ A. 1/8 B. 1/4 C. 3/8 D. 1/2
在 Metropolis-Hastings 算法中，当前状态 x=1，目标分布为 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x∈R），提议分布为 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。由提议分布产生候选点 x′=2。已知接受概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]}，则本次接受概率 α(1, 2) 的值精确为下列哪一项？ A. e^(−3/2) B. e^(−2) C. e^(−3) D. 1
某两状态马尔可夫链的转移矩阵为 P=[[3/4,1/4],[1/2,1/2]]。若初始状态任意，经过足够长时间后处于状态1的概率趋于多少？ A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/4
用蒙特卡洛积分估计 I=∫₀¹ (x+1)dx。若采用重要性抽样：从密度为 g(x)=2x（0<x<1，否则为0）的分布中抽取相互独立的随机数 X₁,…,Xₙ，则基于这组样本的蒙特卡洛估计量应为（ ） A. Î=(1/n)∑ᵢ Xᵢ B. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/(2Xᵢ) C. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)·2Xᵢ D. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/Xᵢ
用两种算法在双精度浮点环境下计算同一组数据 x₁=100000000.1，x₂=100000000.2，x₃=100000000.3 的样本方差：算法甲先求均值再求各偏差平方和；算法乙采用平移变换，先减去首个数据得 yᵢ=xᵢ−x₁，再对 yᵢ 计算样本方差。已知双精度浮点数在该量级附近的表示间隔（机器精度对应的最小可分辨差）约为 1.49×10⁻⁸，且减去首个数据后的平移运算不引入舍入误差。关于两算法所得方差结果的稳定性，下列判断正确的是： A. 甲、乙结果完全相同，因为数学上两公式恒等 B. 甲的偏差 xᵢ−x̄ 在浮点减法中发生严重抵消，结果可能明显失真；乙将运算转移到小数量级，结果稳定可靠 C. 乙更不稳定，因为平移改变了数据的统计性质 D. 两者稳定性无法比较，取决于编程语言
某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，最合适的建模与算法选择是：A. 直接用逆变换法，先解析求出分布函数再抽样 B. 采用自适应 Metropolis-Hastings 的 MCMC 方法，仅依赖密度比值采样 C. 用简单随机抽样从均匀分布独立生成样本 D. 用解析积分求出矩估计后不再抽样
某班同学用蒙特卡洛模拟估计抛掷一枚均匀硬币正面朝上的概率：编程重复模拟 10000 次抛掷，统计正面朝上的次数 m，用 m/10000 作为概率估计值。下列关于该模拟实验的说法正确的是（ ） A. 模拟次数越少，估计值越接近真实概率 0.5 B. 该方法利用频率随试验次数增大而稳定于概率的原理 C. 只要模拟一次抛掷即可精确得到概率 0.5 D. 模拟结果与真实概率一定完全相等
某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位位置分别为 0.025×B 与 0.975×B（非整数时四舍五入）。已知排序后 θ̂*_((10)) = 3.2，θ̂*_((11)) = 3.4，θ̂*_((390)) = 9.6，θ̂*_((391)) = 9.8，则该自助置信区间为（ ） A. [3.2, 9.6] B. [3.4, 9.8] C. [3.2, 9.8] D. [3.4, 9.6]
设 f(x)=x⁴+x²，从点 x=1 出发沿下降方向 d=−1 作回溯线搜索。取初始步长 α₀=2，每次回退令 α←α/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·f′(x)d。则第一个被接受的步长 α 为（ ） A. 1/2 B. 1 C. 3/4 D. 1/4
在EM算法的迭代过程中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计值。关于EM算法的基本收敛性质，下列说法正确的是：A. 观测数据的对数似然 ℓ(θ^(t)) 随迭代单调不减，即 ℓ(θ^(t+1)) ≥ ℓ(θ^(t)) B. 观测数据的对数似然每次迭代严格递增 C. 对数似然在迭代中可能下降，需人为调节步长 D. 对数似然的收敛性与初值 θ^(0) 的选取完全无关
设马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移概率为：P(1,2)=1，P(2,1)=1，P(3,4)=1/2，P(3,1)=1/2，P(4,4)=1。关于各状态的分类，下列结论正确的是：A. 状态3与状态4均常返 B. 状态1是瞬过的，状态4是常返的 C. 状态1、2、4常返且状态3瞬过 D. 全部状态均为常返