大学拓扑学（大学通用）上册《集合论与拓扑空间》练习题

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本单元考点（5 个）

拓扑空间与开集公理闭集与闭包运算邻域系与邻域公理拓扑基与子基拓扑的比较与粗细

题目预览（5/9 题）

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1. 设 X={1,2,3,4}，取集合族 S={{1,2},{2,3},{3,4}}。以 S 为子基在 X 上生成的拓扑 τ 中，共有多少个元素（含空集与 X 自身）？ A. 6　B. 7　C. 9　D. 16

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2. 设 X={a,b,c,d}，集合族 B={{a,b},{b,c},{c,d}}。下列关于 B 能否作为 X 上某拓扑的基的判断中，正确的是哪一项？ A. B 是 X 上某拓扑的基，因为它覆盖 X B. B 不是任何拓扑的基，因为 {a,b}∩{b,c}={b} 不能写成 B 中元素的并 C. B 是离散拓扑的基 D. B 是 X 上某拓扑的子基但不能是基，因为 B 中不含 X 本身

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3. 设 X={a,b,c}，a∈X。依据邻域系的公理（每个邻域含 a；任意两个邻域的交仍是邻域；包含某邻域的子集仍是邻域），判断下列 X 的子集族中，能作为点 a 的邻域系的是（　） A. {{a},{a,b},{a,b,c}} B. {{a,b},{a,c}} C. {{b},{a,b}} D. {{a,b},{a,c},{a,b,c}}

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4. 设 X = {1, 2, 3, 4}，记集合族 τ = {∅, {1}, {1,2}, {1,2,3}, X}，下列关于 τ 的判断正确的是哪一项？ A. τ 满足开集公理，是 X 上的一个拓扑 B. τ 不是拓扑，因为 {1,2} 与 {1,2,3} 的并 X 不在其中 C. τ 不是拓扑，因为 {1,2} 与 {1,2,3} 的交 {1,2} 虽在 τ 中，但 {1} 与 {1,2} 的并 {1,2} 之外还有开集未列出 D. τ 不是拓扑，因为 {1,2} 的补集 {3,4} 不在 τ 中

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5. 设 X = {a, b, c}，考虑 X 上的两个拓扑：T₁ = {∅, {a}, {a,b}, X}，T₂ = {∅, {a}, X}。下列结论正确的是：A. T₁ 与 T₂ 不可比较 B. T₁ 比 T₂ 细 C. T₁ 比 T₂ 粗 D. T₁ = T₂

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