大学拓扑学（大学通用）上册《乘积空间与商空间》练习题

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本单元考点（5 个）

乘积拓扑的定义与基投影映射的连续性有限乘积与无限乘积商拓扑与商映射粘合空间与商空间构造

题目预览（5/9 题）

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1. 设 X 与 Y 为拓扑空间，p: X×Y→X 为向第一分量的投影映射。记 X×Y 赋予乘积拓扑，F 为 X×Y 的子集。下列关于 p 的连续性的判断正确的是： A. p 连续当且仅当 X 与 Y 都是 Hausdorff 空间 B. p 必连续，且对任意开集 U⊂X，p⁻¹(U)=U×Y 是乘积拓扑中的开集 C. p 连续当且仅当 X 是离散空间 D. p 未必连续；只有当 Y 为紧空间时 p 才连续

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2. 设 X 与 Y 为拓扑空间，在 X×Y 上取乘积拓扑。下列关于乘积拓扑的结论正确的是： A. X×Y 上的乘积拓扑是由形如 U×V（U 为 X 的开集，V 为 Y 的开集）的集合全体作为拓扑基生成的 B. X×Y 中的开集都必形如 U×V，其中 U、V 分别为 X、Y 的开集 C. 乘积拓扑是使两个投影映射 p₁: X×Y→X 与 p₂: X×Y→Y 都不连续的最粗拓扑 D. 若 X、Y 都是平凡拓扑空间，则 X×Y 上的乘积拓扑一定是离散拓扑

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3. 在正方形 [0,1]×[0,1] 上定义等价关系：对每个 t∈[0,1]，将点 (0,t) 与点 (1,t) 粘合，将点 (t,0) 与点 (1−t,1) 粘合，其余点各自等价于自身。所得商空间的同胚类型是（　）A. 环面 B. 球面 C. 射影平面 D. 克莱因瓶

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4. 设 X、Y 为拓扑空间，p₁: X×Y→X 与 p₂: X×Y→Y 为两个投影映射，X×Y 上赋予乘积拓扑。下列关于投影映射性质的判断正确的是： A. p₁ 与 p₂ 都未必连续，取决于 X、Y 上的具体拓扑 B. p₁ 与 p₂ 都是连续的开映射 C. p₁ 连续，p₂ 未必连续 D. p₁、p₂ 连续但都不是开映射

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5. 设 X、Y 为拓扑空间，p₂: X×Y→Y 为向第二个分量的投影映射（X×Y 取乘积拓扑）。下列判断正确的是： A. 对任意子集 V⊆Y，p₂⁻¹(V) 总是 X×Y 的开集 B. p₂ 连续当且仅当对 Y 的每个开集 V，p₂⁻¹(V)=X×V 是 X×Y 的开集 C. p₂ 一定把 X×Y 的开集映为 Y 的开集 D. 若 X 为单点空间，则 p₂ 必不连续

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