大学应用回归分析上册《广义线性模型初步》练习题

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本单元考点（5 个）

广义线性模型的三大组成部分连接函数与期望的函数形式Logistic回归模型泊松回归模型广义线性模型的参数估计与检验

题目预览（5/27 题）

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1. 在泊松回归模型中，设响应变量 Y 服从泊松分布，其均值 μ 与协变量 x 满足 log(μ) = β₀ + β₁x。若 β₁ = 0.2，则当 x 每增加 1 个单位时，均值 μ 的变化情况是（　） A. μ 增加约 22.1% B. μ 增加 0.2 个单位 C. μ 增加约 20% D. μ 缩小约 18.1%

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2. 某工厂研究设备运行时长 x（小时）与故障次数 Y 的关系，设 Y|X=x 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x，其中 μ = E(Y|X=x)。已知拟合结果 β₀ = 0.5，β₁ = −0.3。请计算：(1) 当 x = 2 时的平均故障次数 μ(2)（保留4位小数）；(2) 当 x = 4 时的平均故障次数 μ(4)（保留4位小数）；(3) 比值 μ(4)/μ(2)（保留4位小数）。

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3. 某医院研究患者是否出现术后并发症（出现记1，未出现记0）与年龄 x 的关系，建立Logistic回归模型：ln(π/(1−π)) = β₀ + β₁x，其中 π 为并发症出现概率。由极大似然估计得 β̂₀ = −2.0，β̂₁ = 0.05。对 β₁ 的检验，Wald统计量为 W = (β̂₁/SE(β̂₁))² = 4.84。已知 Wald 统计量在原假设 H₀: β₁ = 0 下近似服从自由度为1的卡方分布，取显著性水平 α = 0.05，临界值 χ²₀.₀₅(1) = 3.84。请判断年龄对并发症出现概率的影响是否显著，并说明理由。

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4. 某城市交通管理部门研究一条地铁线路在不同运营时段与天气下的客流量，记录了 30 天的日均客流 Y（万人次）。设 Y 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂，其中 x₁ 为时段指示变量（高峰时段取 1，平峰时段取 0），x₂ 为天气指示变量（雨天取 1，晴天取 0）。已拟合得 β̂₀ = 1.60，β̂₁ = 0.50，β̂₂ = −0.30（e^1.60 ≈ 4.953，e^2.10 ≈ 8.166，e^1.80 ≈ 6.050，e^2.30 ≈ 9.974）。试求：晴天高峰时段该线路日均客流的预测值（万人次），结果保留两位小数。

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5. 某研究人员考察温度 x 对某化学品日产量损失率的影响，构建广义线性模型。他给出四条候选表述：① 随机成分：设 Y 服从 Gamma 分布，均值 E(Y)=μ；② 系统成分：线性预测子 η=β₀+β₁x；③ 连接函数：g(μ)=η，即 g(μ)=ln μ；④ 随机成分：设 Y 服从 N(μ², σ²)，其中 μ 由连接方程 ln μ=β₀+β₁x 反解得到。请指出其中正确刻画了广义线性模型三大组成部分（随机成分、系统成分、连接函数）的表述序号，并写出该模型的连接函数在 μ=1 处的函数值。

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