大学高等数学（同济版）下册《多元函数微分法及其应用》练习题

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本单元考点（8 个）

偏导数计算全微分多元复合函数链式法则隐函数求导公式方向导数与梯度空间曲线切线与曲面切平面多元函数极值条件极值（拉格朗日乘数法）

题目预览（5/18 题）

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1. 用拉格朗日乘数法求函数 f(x,y)=xy 在约束条件 x+y=4 下的最大值，构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=xy+λ(4−x−y)，解得候选点后，f 的最大值为（　） A. 2　B. 4　C. 8　D. 16

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2. 曲面 z = x² + y² 在点 (1, 2, 5) 处的切平面方程是（　） A. 2x + 4y − z − 5 = 0　B. 2x + 4y + z − 15 = 0　C. x + 2y − z = 0　D. 2x + 4y − z + 5 = 0

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3. 设函数 z = x³ + 2xy + y²，则全微分 dz = ____。

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4. 设函数 f(x,y)=x²+y²−2x+4y+5，则 f 的驻点及其性质为（　） A. 驻点为 (1,−2)，是极小值点 B. 驻点为 (1,−2)，是极大值点 C. 驻点为 (1,−2)，不是极值点 D. 驻点为 (−1,2)，是极小值点

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5. 用拉格朗日乘数法求函数 f(x,y)=xy 在约束条件 x²+y²=8 下的最大值。构造 L(x,y,λ)=xy+λ(8−x²−y²)，解方程组得所有候选点并逐一比较 f 的值，则 f 的最大值为（　　） A. 8 B. 4 C. −4 D. 2√2

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