大学高等数学（同济版）下册《重积分》练习题

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本单元考点（6 个）

二重积分化累次积分交换积分次序极坐标下二重积分三重积分投影法与截面法柱面坐标与球面坐标重积分的对称性与应用

题目预览（5/9 题）

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1. 设 D 是由抛物线 y=x² 与直线 y=2x 所围成的闭区域。将二重积分 ∬_D f(x,y)dσ 分别化为两种次序的累次积分，则下列正确的是（　） A. ∫₀²dx∫_{x²}^{2x}f(x,y)dy 与 ∫₀²dy∫_{y/2}^{√y}f(x,y)dx B. ∫₀²dx∫_{x²}^{2x}f(x,y)dy 与 ∫₀⁴dy∫_{y/2}^{√y}f(x,y)dx C. ∫₀²dx∫_{2x}^{x²}f(x,y)dy 与 ∫₀⁴dy∫_{y/2}^{√y}f(x,y)dx D. ∫₀²dx∫_{x²}^{2x}f(x,y)dy 与 ∫₀⁴dy∫_{√y}^{y/2}f(x,y)dx

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2. 设 Ω 由曲面 z = x²+y² 与平面 z = 4 围成，用截面法（先二后一）计算三重积分 I = ∭_Ω z dV。因为被积函数只含 z，用过 z 轴上点 z (0≤z≤4) 的水平截面，截面为圆域 x²+y²≤z，其面积为 πz。则 I 化为定积分 ∫₀⁴ πz² dz，其值为（　） A. 32π/3　B. 64π/3　C. 16π　D. 256π/5

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3. 设平面区域 D = {(x,y) | |x|+|y| ≤ 1}，则二重积分 ∬_D (x³ + 3y²)dσ 的值为（　） A. 2 B. 4/3 C. 2/3 D. 1

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4. 用球面坐标计算三重积分 ∭_Ω z dV，其中 Ω 为上半球体 x²+y²+z²≤4，z≥0。正确结果为（　） A. 4π　B. 8π　C. 2π　D. π

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5. 设区域 D 关于 y 轴对称，f(x,y) 在 D 上连续且关于 x 为奇函数，则二重积分 ∬_D f(x,y)dσ 的值为（　） A. 2∬_{D右半} f(x,y)dσ　B. 0　C. 2∬_{D左半} f(x,y)dσ　D. 无法确定，需具体计算

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