大学统计学（大学通用）上册《相关与回归分析》练习题

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本单元考点（5 个）

相关关系的种类相关系数一元线性回归与最小二乘法回归方程的显著性回归预测的限度

题目预览（5/27 题）

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1. 某电商平台随机抽取 5 个地区，统计各地区某月线上广告投入 x（万元）与当月销售额 y（万元）的样本数据，经计算得：x̄=6，ȳ=40，∑(xi−x̄)²=40，∑(xi−x̄)(yi−ȳ)=−50，∑(yi−ȳ)²=100。用最小二乘法求得一元线性回归方程 ŷ=a+b₁x，样本相关系数为 r。则下列说法正确的是（　） A. 回归方程为 ŷ=47.5−1.25x，广告投入每增加 1 万元，销售额平均减少 1.25 万元，且 b₁ 与 r 同为负号 B. 样本相关系数 r=−1.25，说明两变量高度负相关 C. 广告投入每增加 1 万元，销售额必然减少 1.25 万元 D. 回归方程为 ŷ=47.5−1.25x，且回归系数 b₁ 与 r 的符号可以相反

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填空题 ★ 精品详情 →

2. 某实验室为评估新型催化剂的活性（y，单位：mol/h）与反应温度（x，单位：℃）的关系，进行了 n=5 次独立实验。测得数据满足：∑(xi - x̄)² = 100，回归平方和 SSR = 800，残差平方和 SSE = 200。已知在自由度为 (1, 3) 的 F 分布中，显著性水平 α=0.05 下的临界值 F₀.₀₅(1,3) = 10.13。请判断该线性回归方程是否显著（填“是”或“否”），并计算判定系数 R² 的值（保留两位小数）。答案格式：____，____

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应用题 ★ 精品详情 →

3. 浩浩为制定年度阅读计划，统计了过去12个月每月投入的自习时长 x（小时）与完成的页数 y（页）。基于这12组数据拟合出一元线性回归方程 ŷ = 50 + 8x。已知样本中自习时长的最小值为10小时，最大值为40小时，且该回归模型的估计标准误 Syx = 6 页。浩浩计划下个月将自习时长提升至60小时以冲刺目标。请问：若直接利用该回归方程预测60小时对应的页数，这一预测值在统计学上是否可靠？请结合自变量观察范围与估计标准误的含义说明理由，并指出若要使预测更具统计意义，应如何调整建模策略或数据收集方案？

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4. 某工厂在 6 个生产班组进行试验，记录各组月均设备运转时间 x（百小时）与当月合格品产量 y（件），计算得 x̄=5，ȳ=30，∑(xi−x̄)²=24，∑(xi−x̄)(yi−ȳ)=36。用最小二乘法拟合 y 对 x 的一元线性回归方程 ŷ=a+bx，则回归系数 b 及其含义是： A. b=1.5，表示设备运转时间每增加 1 百小时，产量平均增加 1.5 件 B. b=1.5，表示设备运转时间每增加 1 百小时，产量恰好增加 1.5 件 C. b=0.75，表示设备运转时间每增加 1 小时，产量平均增加 0.75 件 D. b=1.2，表示设备运转时间与产量同向变动且关系强度为 1.2

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5. 某企业研究广告投入 x（万元）对月利润 y（万元）的影响，随机抽取 6 个月的数据，经计算得：x̄=5，ȳ=30，∑(xi−x̄)²=50，∑(xi−x̄)(yi−ȳ)=−60。用最小二乘法拟合一元线性回归方程 ŷ=a+bx，则 b 的值及其含义为（） A. b=−1.2，广告投入每增加 1 万元，月利润平均减少 1.2 万元 B. b=−1.2，表明 x 与 y 完全负相关 C. b=−0.05，广告投入每增加 1 万元，月利润平均减少 0.05 万元 D. b=1.2，广告投入每增加 1 万元，月利润平均增加 1.2 万元

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