大学高等代数（大学通用）上册《线性变换》练习题

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本单元考点（5 个）

线性变换的定义与运算线性变换的矩阵表示特征值与特征向量值域与核不变子空间

题目预览（5/9 题）

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1. 设 V=P₂[x] 为次数不超过 2 的实系数多项式全体构成的线性空间，定义映射 φ:V→V 为 φ(f(x))=f′(x)−f(x)。则下列结论正确的是（　） A. φ 的核 Ker φ = {0}，值域 Im φ = V B. dim Ker φ = 1，dim Im φ = 2 C. Ker φ = Im φ D. Ker φ = V，Im φ = {0}

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2. 设线性变换 σ 在三维线性空间 V 的基 ε₁, ε₂, ε₃ 下的像分别为 σ(ε₁)=ε₁+2ε₃, σ(ε₂)=ε₂, σ(ε₃)=ε₁+ε₂+ε₃，则 σ 在该基下的矩阵为（　）A. 第一列为(1,0,2)ᵀ，第二列为(0,1,0)ᵀ，第三列为(1,1,1)ᵀ B. 第一行为(1,0,2)，第二行为(0,1,0)，第三行为(1,1,1) C. 第一列为(1,2,0)ᵀ，第二列为(0,1,0)ᵀ，第三列为(1,1,1)ᵀ D. 第一列为(1,0,2)ᵀ，第二列为(0,1,1)ᵀ，第三列为(1,0,1)ᵀ

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3. 设线性变换 σ: R²→R² 定义为 σ(x,y)=(2x−y, x+3y)，则复合变换 (σ∘σ)(2,1) 等于 A. (3, 5) B. (1, 18) C. (6, 13) D. (1, 5)

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4. 设线性变换 σ: R³→R² 定义为 σ(x₁,x₂,x₃)=(x₁−x₂, x₂−x₃)。下列关于 σ 的值域与核的说法正确的是： A. 值域 Im(σ) = R²，核 Ker(σ) = {(t,t,t) | t∈R} B. 值域 Im(σ) 是 R² 的真子集，核 Ker(σ) = {(0,0,0)} C. 值域 Im(σ) = R²，核 Ker(σ) = {(t,0,0) | t∈R} D. Im(σ) = Ker(σ)

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5. 设 V 是数域 P 上的线性空间，σ 是 V 的线性变换，W 是 V 的子空间。下列关于不变子空间的叙述正确的是（　） A. 若 W 中任一向量 α 都满足 σ(α) ∈ W，则 W 是 σ 的不变子空间 B. 只要 σ(V) ⊆ V，V 就不是 σ 的不变子空间 C. 若 W 是 σ 的不变子空间，则 W 中任意向量的像必不属于 W D. 零子空间 {0} 不可能是 σ 的不变子空间

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