大学高等代数（大学通用）上册《λ-矩阵与若尔当标准形》练习题

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本单元考点（5 个）

λ-矩阵的初等变换不变因子与行列式因子初等因子组若尔当标准形最小多项式

题目预览（5/9 题）

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1. 设 3 阶矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=(λ−2)²(λ−5)，且秩(A−2E)=2，则 A 的最小多项式 m(λ) 为（　） A. (λ−2)(λ−5) B. (λ−2)²(λ−5) C. (λ−2)² D. (λ−5)²

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2. 设 4 阶矩阵 A 的特征多项式为 (λ−2)²(λ+1)²，且 A−2E 的秩为 2，A+E 的秩为 3，则 A 的最小多项式为（　） A. (λ−2)(λ+1) B. (λ−2)²(λ+1) C. (λ−2)(λ+1)² D. (λ−2)²(λ+1)²

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3. 设 4 阶矩阵 A 的特征多项式为 (λ+2)²(λ−4)²，且秩(A+2E)=1，秩(A−4E)=1，则 A 的最小多项式为（　） A. (λ+2)(λ−4) B. (λ+2)²(λ−4) C. (λ+2)(λ−4)² D. (λ+2)²(λ−4)²

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4. 设 6 阶 λ-矩阵 A(λ) 的秩为 4，且其各阶行列式因子满足 D₃(λ)=1，D₄(λ)=(λ−1)²(λ+2)。则 A(λ) 的不变因子中 d₂(λ) 为（　） A. 1　B. λ−1　C. λ+2　D. (λ−1)²(λ+2)

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5. 已知 3 阶 λ-矩阵 A(λ) = diag(λ, λ(λ−1), λ(λ−1)²)，求 A(λ) 的最后一个不变因子 d₃(λ)。A. λ(λ−1)²　B. λ(λ−1)　C. λ²(λ−1)²　D. (λ−1)²

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