大学数学建模（大学通用）上册《微分方程模型》练习题

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本单元考点（5 个）

微分方程建模的基本方法马尔萨斯人口模型Logistic阻滞增长模型传染病模型及阈值判断微分方程平衡点稳定性分析

题目预览（5/18 题）

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1. 某地区用 SIR 模型研究传染病传播：易感者比例 s(t)、感染者比例 i(t) 满足 ds/dt = -βsi，di/dt = βsi - γi，其中 β 为传染率系数，γ 为移除率系数。已知该疾病 β=0.5（每天），γ=0.2（每天）。若初始易感者比例 s₀ 控制在阈值 γ/β 以下，则染病者比例 i(t) 单调递减，疫情自然消退。问：使疫情无法蔓延的初始易感者比例上界是多少？ A. 0.2　B. 0.3　C. 0.4　D. 0.5

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2. 某城市依据马尔萨斯（Malthus）人口模型 N(t)=N₀e^(rt) 预测人口增长。已知该市人口按此模型每 20 年恰好翻一倍。若当前人口为 100 万，则按该模型预测，人口增长到 400 万需要经过的年数 t 为（　　） A. 30 年　B. 40 年　C. 50 年　D. 60 年

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3. 某养殖场引入一批种鱼，鱼群数量按Logistic阻滞增长模型变化：dx/dt = 0.2·x·(1 - x/800)，其中x(t)为t（单位：天）时刻的鱼群数量，且x(0)=160（尾）。当鱼群数量首次达到环境容量的一半（即400尾）时，所需时间t = ____ 天（结果用对数表示）。

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4. 某单种群模型中，种群数量 x(t) 满足微分方程 dx/dt = x(1 − x/4) − 3/4（其中 x>0，方程右端表示种群的逻辑斯谛增长与常数捕获率之差）。请先用平衡点条件求出该方程的全部正平衡点，再按平衡点稳定性判别方法（考察 f(x) 在平衡点两侧的符号变化）进行分析，则其中渐近稳定的平衡点为 x* = ____

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5. 设某产品存量 x(t) 满足微分方程 dx/dt = 2x(1 − x/5)（x>0）。该方程有两个平衡点，按平衡点稳定性的判别方法，下列结论正确的是（　） A. x=0 与 x=5 都是稳定平衡点 B. x=0 稳定，x=5 不稳定 C. x=0 不稳定，x=5 稳定 D. x=0 与 x=5 都不稳定

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