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设 f(x,y)=2x²+3y²+2xy，取初始点 x₀=(1,1)ᵀ。用牛顿法求极小点：写出梯度 ∇f 与 Hessian 矩阵 H，计算经一次牛顿迭代得到的 x₁；再判断第二次迭代所得 x₂ 与 x₁ 是否相同，并说明原因（提示：f 为二次函数时牛顿法一步收敛到精确极小点）。
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设隐变量 z∈{0,1}，先验 P(z=1)=π。在观测数据 x 已知时，EM 算法第 t 步 E 步算得后验概率 P(z=1|x)=0.8。已知完全数据对数似然中与参数 θ 有关的部分为 ℓ_c(θ)=z·log(1+θ)+(1−z)·log(3−θ)，其中 0<θ<1。则第 t 步的 Q 函数中 θ 的系数结构及 M 步更新 θ^(t+1) 为（ ） A. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=−0.4 B. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.4 C. Q(θ)=π·log(1+θ)+(1−π)·log(3−θ)，θ^(t+1)=1−π D. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.8·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.5
用梯度下降法极小化 f(x)=(x−2)²。已知从初始点 x₀=0 出发，第一步迭代得 x₁=1，第二步迭代得 x₂=3/2。由此可知所用的学习率（步长）α 的值，并按同一学习率继续迭代一次，得到的 x₃ 为多少？ A. 5/4 B. 7/4 C. 9/4 D. 11/8
在 Metropolis-Hastings 采样中，若目标分布集中在区间 [5, 6]，而使用随机游走提议分布 q(x'|x)=N(x, σ²)，则 σ 取 0.01 或 100 时采样效率都很低。为使接受率保持在合理范围（约 0.3~0.5），应将 σ 调整为与目标分布的____量级相当。当 σ 过小时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致链移动缓慢；当 σ 过大时，接受率会偏____（填「高」或「低」），导致大量提议被拒绝。
某学生用随机游走 Metropolis-Hastings 算法采样目标密度 p(x) ∝ e^(−|x|)（x∈R），提议分布为对称的均匀分布 q(x′|x) = 1/2（当 |x′−x|≤1 时，否则为0）。已知当前状态 x=0.5，算法产生的新候选点为 x′=1.3。由于提议分布对称，接受概率为 α = min{1, p(x′)/p(x)}。请计算该候选点被接受的概率，α = ____。（结果用 e 的幂表示，保留三位小数）
对标准正态目标分布 N(0,1) 使用随机游走 Metropolis-Hastings 采样，提议分布为 N(0, σ²)。已知此时平均接受率的闭式公式为 α(σ)=2Φ(−σ/2)，其中 Φ 为标准正态分布函数。理论分析表明 α 接近 0.44 时采样效率最高。设 Φ(−0.25)=0.401，Φ(−0.5)=0.309，Φ(−0.75)=0.227，Φ(−1.0)=0.159。若在 σ=0.5、σ=1.0、σ=1.5、σ=2.0 四个候选中选一个使 α(σ) 最接近 0.44，应选哪个？ A. σ=0.5 B. σ=1.0 C. σ=1.5 D. σ=2.0
设马尔可夫链的状态空间为 {1, 2}，一步转移矩阵为 P = [[0.5, 0.5], [0.6, 0.4]]。关于该链的下列说法，正确的是：A. 该链可约且周期为 2 B. 该链不可约、非周期且正常返，从而遍历 C. 该链不可约但周期为 2 D. 该链不可约但非常返
某总体分为两层：第一层权重 W₁=1/2，层内标准差 σ₁=2；第二层权重 W₂=1/2，层内标准差 σ₂=4。采用分层采样估计总体均值，总样本量 n=60，并按 Neyman 最优分配确定各层样本量 n₁、n₂（即 nₕ 与 Wₕσₕ 成正比）。求最优分配下方差估计量 Var = Σ Wₕ²σₕ²/nₕ 的值。 A. 0.30 B. 0.167 C. 0.15 D. 0.10
设 {W(n), n∈Z} 为零均值白噪声，方差 σ²=4，且不同时刻互不相关。定义线性滤波输出 X(n)=W(n)+0.5·W(n−1)。（1）证明 {X(n)} 是弱平稳过程；（2）求 X(n) 的方差及自相关函数 R_X(k)（k=0,1,2，其余滞后给出通式）。
设 {X(t), t∈R} 为均值为 μ₀、自相关函数为 R_X(τ) 的宽平稳过程。考虑线性时不变系统，其频率响应为 H(ω)=2e^(-jω)，输入为 X(t)，输出为 Y(t)。试说明 Y(t) 也是宽平稳过程，并求 Y(t) 的均值 E[Y(t)] 与自相关函数 R_Y(τ)（用 R_X 表示）。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且每个 Xᵢ 恒等于 3（退化分布）。记 A(t) 为时刻 t 的年龄（即 t 与最近一次更新时刻之差），γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。若在时刻 t=10 观察当前更新周期，则 (A(10), γ(10)) 等于（ ） A. (1, 2) B. (2, 1) C. (0, 3) D. (3, 0)
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，考察下列四个过程： 甲：X(t)=2B(t/4)；乙：X(t)=B(t/2)；丙：X(t)=B(t)+t；丁：X(t)=B(2t)。 其中仍为标准布朗运动的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=2)=0.4，P(X=3)=0.6，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ。则 P(N(7)≤2)=____。
设某传感器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,4] 上服从均匀分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。则该传感器的平均寿命 μ=____；由关键更新定理，极限 lim(t→∞) [m(t) − t/μ] = ____。
某工厂一台机器连续工作，损坏后立即更换，更换间隔时间 X（单位：小时）相互独立同分布，密度为 f(x)=x·e^(-x)（x>0）。每次更换一台机器的费用为 120 元。设长期运行，试用更新定理求每天（24 小时）平均更换费用的期望值。
用样本均值法估计 I=∫₀¹ x³ dx。取 U∼(0,1) 均匀分布，普通估计量每用一个随机数得一个样本 U³；对偶变量法改用 (U³+(1−U)³)/2 作为一对样本，即每两个均匀随机数产生一个估计样本。设两种方法各使用 N 个均匀随机数，普通法估计量方差为 Var₁，对偶法估计量方差为 Var₂，则 Var₁/Var₂ = ____。（用最简分数表示）
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，且 N(0)=0。已知 P{N(2)=0}=e^(−4)。(1) 求强度 λ 的值；(2) 在此强度下，利用独立增量与平稳增量性质，求概率 P{N(5)−N(3)=0}（结果用 e 的幂表示）。
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。由平稳独立增量性质，条件概率 P{N(2)=2 | N(4)=2} = ____
某急救调度中心收到呼救的次数 N(t) 是强度 λ=1.2（次/小时）的泊松过程，各次到达间隔相互独立且服从指数分布。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 次呼救到达的时间间隔（单位：小时），则 P(X₁ > 5分钟) = ____（用 e 的幂表示）。
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ √x dx。独立抽取 5 个均匀分布样本 xᵢ=0.04, 0.16, 0.36, 0.64, 1.00，计算函数值 gᵢ=√xᵢ 并以其经验均值 Î 作为 I 的估计。请补全：样本标准差 S=√(∑(gᵢ-Î)²/(n-1))，则 Î=____，该估计的标准误 S/√n=____（第二空用形如 a√b 的最简形式表示）。