大学数学分析（大学通用）上册《函数项级数与幂级数》练习题

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本单元考点（6 个）

函数项级数一致收敛的定义一致收敛的M判别法一致收敛级数的连续性一致收敛级数的逐项积分与求导幂级数收敛半径与收敛域函数的幂级数展开

题目预览（5/9 题）

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1. 用优级数法（M判别法）判断：函数项级数 ∑(n=1→∞) x²/[n²(1+x²)] 在 (-∞,+∞) 上的敛散情况为（　） A. 在 (-∞,+∞) 上一致收敛，因每项满足 |x²/[n²(1+x²)]| ≤ 1/n² B. 在 (-∞,+∞) 上处处收敛但不一致收敛 C. 仅在有限区间上一致收敛，在 x→∞ 处发散 D. 因通项当 x→∞ 时趋于 1/n² ≠ 0，故处处发散

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2. 用 Weierstrass 优级数法（M 判别法）考察函数项级数 ∑(n=1→∞) sin(nx)/(n²+1) 在 (-∞,+∞) 上的一致收敛性。取优级数 Mₙ，则正确的结论是（　） A. 可取 Mₙ=1/(n²+1)，且 ∑Mₙ 收敛，故原级数在 (-∞,+∞) 上一致收敛 B. 可取 Mₙ=1/n，且 ∑Mₙ 收敛，故原级数在 (-∞,+∞) 上一致收敛 C. 因 |sin(nx)| 的上确界为 1 无法改进，M 判别法失效，不能得出一致收敛 D. 可取 Mₙ=1/(n²+1)，但因 ∑Mₙ 发散，故只能判断逐点收敛

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3. 设函数项级数 ∑ uₙ(x) 在区间 [0,1] 上处处收敛于和函数 S(x)，且各项 uₙ(x) 在 [0,1] 上连续。下列结论正确的是：若该级数在 [0,1] 上（　　），则 S(x) 在 [0,1] 上连续。 A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 单调收敛

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4. 将函数 f(x)=1/(2+x) 展开为关于 x 的幂级数，则其展开式为（　） A. ∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n/2^(n+1)，|x|<2 B. ∑_{n=0}^{∞} x^n/2^(n+1)，|x|<2 C. ∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n/2^n，|x|<1 D. ∑_{n=0}^{∞} (-1)^n x^n/2^(n+1)，|x|<1/2

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5. 设函数项级数 ∑ uₙ(x) 的各项在闭区间 [a,b] 上连续，且级数在 [a,b] 上一致收敛于 S(x)。下列结论正确的是： A. S(x) 在 (a,b) 内连续，但在端点处可能不连续 B. S(x) 在 [a,b] 上连续 C. S(x) 在 [a,b] 上未必连续，需逐点验证 D. 各项连续即可保证 S(x) 连续，与是否一致收敛无关

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